[ PRML ] Ch2-1 Binary Variables (2)

감마 분포(Gamma distribution)

우선, 감마 분포(Gamma distribution)에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

감마 함수는 Factorial을 자연수에만 한정해서 사용하지 않고, 더 큰 수 체계에서도 적용할 수 있는 방법을 고민하다가 나온 함수라고 합니다. 즉 복소수 범위까지 일반화된 Factorial을 의미합니다. 지수 분포를 한 번의 사건이 아닌 여러 개의 사건으로 확장한 것이라고 할 수 있습니다. 감마 분포(Gamma distribution)는 통상적으로 포아송 분포의 모수의 역수를 사용합니다. 즉, 모수가 β인 지수분포에서 β는 사건 사이 평균 소요시간을 의미합니다.

아래의 그래프의 경우 각 α,β 모수에 따른 Gamma Distribution입니다. α 가 증가할수록 평균과 분산이 커지고, β의 경우도 마찬가지이지만, 더욱 영향이 큽니다. 즉, 기다릴 사건의 개수가 많아질 수록, 사건사이의 평균 소요시간 이 길어질수록 전체 시간은 길어질 것입니다.

베타 분포(Beta distribution)

* 이항 분포의 형태를 취하는 가능도 함수를 사용하는 경우, 사전 확률로 베타 분포를 사용하면 베타 분포의 사후 확률을 얻을 수 있습니다.
   (확률에 대한 확률분포라고도 합니다.) 예를 들자면, 나의 SNS에 좋아요를 누를 확률이 0.5보다 클 확률을 구하고 싶을 때 사용할 수 있습
   니다. 예를들어, 지금까지 글을 읽은 사람 중 3명은 좋아요를 누르고 10명은 누르지 않았다면, 좋아요를 누를 확률은 아래와 같습니다. 

 또한 베타분포 = 이항분포 X 베타분포 와 같은 형태의 식을 얻을 수 있습니다.  (하단의 그래프는 베타분포에 모수에 따른 그래프이다.)

그래프를 보시다시피, α, β의 값이 서로 비슷할수록 정규분포에 점근적으로 근사한다고 볼 수 있습니다. 

 

Reference

http://norman3.github.io/prml/docs/chapter02/1

1. Binary Variables

https://soohee410.github.io/gamma_dist

[연속형 분포] 감마 분포(Gamma distribution)