[3D Knowledge] SLAM 03

Lie Group SO(3)

  - Special Orthogonal 3 Group
            - 교환법칙이 성립되지 않는다.
            - Determinant 가 항상 1이므로, Reflection과 Inversion이 작동하지 않으며, Rotation이 추후 작동됩니다.

  - Adjoint

            - 각속도에 대한 행렬 변환을 유용하게 사용이 가능하다.

Lie Group so(3)

  - so(3)은 다음과 같은 반대칭 행렬을 지니고 있습니다.

Exponential Mapping and Logarithm Mapping

  - SO(3) 와 so(3)는 지수 매핑과 로그 매핑으로 서로 일대일 매칭이 다음과 같이 됩니다. ( log 와 exp )

  - 일반적으로 하단의 매핑과정을 활용하는데, exp에서는 w --> R 로 가고, Exp 는 반대 현상일 때 활용합니다.

  - 또한, Lie Group에서는 + , - 연산을 활용하는 것이 아닌, 새로운 연산자를 따로 정의해야 합니다.
     이를, Oplus (Lie Group에 대한 원소를 계산한다고 볼 수 있으며), OMinus (Lie Algebra에 대한 원소를 계산)라고 부른다. 

SLAM에서 Lie Theory가 필요한 이유
-  Reprojection Error를 계산하는 과정에서, Overparamterization이 일어나고, Constrained 이슈가 발생할 우려가 있는데

    이러한 문제를 해결하려면, Rotation을 Lie Algebra로 이동하고 (Appropoximate) 를 한 후
    계산을 하면 unconstrained 되어 용이해진다.

Lie Group SE(3)

-  Special Eucliean 3 Group
-  3차원 공간 상에서 강체의 변환과 관련된 행렬과 이에 닫혀 있는 연산들로 구성된 군을 의미함.

Photometric Error

-  이전 시간 t-1에서 관측된 점 p1과 현재 시간 t에 존재할 것으로 예측된 점 P2 사이의 픽셀 밝기 오차